Üçgende Açıortaylar Arasındaki Açılar ve Kesişim Durumları:

A, B, C açılarının iç açıortaylarının kesişim noktasına I diyelim.

m(BIC) = 180°-m(B)/2-m(C)/2  dir. 
180° = m(A)+m(B)+m(C) yazarsak; m(BIC) = m(A) + m(B)/2 + m(C)/2 olur.
m(BIC) = m(A)/2 + m(A)/2 + m(B)/2 + m(C)/2 diye düzenleyelim.

Buradan da m(BIC) = 90°+ m(A)/2 çıkar.

O halde iki iç açıortay arasında kalan açının ölçüsü 90° ile üçüncü açının yarısının toplamıdır.

İki İç Açıortay Özelliği

A ve C açılarının  dış açıortaylarını çizelim, kesişim noktasına J diyelim.

AJC üçgeninde biraz açı hesabı yapalım.
m(AJC) +(180°- m(A))/2 + (180°- m(C))/2 = 180°
m(AJC) + 90° -  m(A)/2 + 90° -  m(C)/2  =  180°
m(AJC)  =  m(A)/2 +  m(C)/2
m(AJC)  =  m(A)/2 +  m(C)/2 + m(B)/2 -  m(B)/2 
m(AJC) = 90° -   m(B)/2  bulunur.

O halde iki dış açıortay arasında kalan açının ölçüsü 90° ile üçüncü açının yarısının farkına eşittir.

İki Dış Açıortay Özelliği

B açısının iç açıortayı ile C açısının dış açıortayını çizersek J noktasında kesişir.

BJC üçgeninde biraz açı hesabı yapalım.

m(BJC) + m(JBC) = m(JCE)
m(BJC) + m(B)/2 =  180°-[ m(C) + (180° - m(C))/2
m(BJC) + m(B)/2 =  180°- m(C) - 90° + m(C))/2
m(BJC) = 90°- m(B)/2 - m(C))/2
90° yerine m(A)/2 +m(B)/2 + m(C)/2 yazabiliriz.
m(BJC) = m(A)/2 +m(B)/2 + m(C)/2 - m(B)/2 - m(C)/2
Buradan da m(BJC) = m(A)/2  bulunur.

O halde bir köşenin açının iç açısıyla diğer bir köşenin dış açıortayı arasında kalan açının ölçüsü; 
üçüncü açının ölçüsünün yarısına eşittir.

Bir İç, Bir Dış Açıortay Özelliği

Üçgende üç iç açıortay bir  noktada kesişir.

Bu nokta iç teğet çemberinin merkezidir.

Üçgende bir köşe noktasının iç açıortayıyla,  diğer iki köşenin açıortayları da bir noktada kesişir. 

Bu nokta da iç açıortayı çizilen köşeye ait kenara ve diğer kenarlara uzantılarında 
teğet olan dış teğet çemberinin merkezidir.
Bunun gibi iki tane daha dış teğet çemberi vardır.

Sonuç olarak bir üçgenin bir iç teğet, üç tane de dış teğet çemberi vardır.

Teğet Çemberlerin Merkezleri

α = 0.767944870877505 rad (slider from 0° to 180°, step 0.017453292519943295)
β = 0.8726646259971648 rad (slider from 0° to 180°, step 0.017453292519943295)
metin8: "A açısı α =" + α + " , B açısı β = " + β + " olan  bir ABC üçgeni çizelim."
B = (-7.824565778766008, -4.443077757203387)
A = (-1.0450594039334509, 4.36217753441182)
f = Segment(A, B)
B' = Rotate(B, α, A)
γ = Angle(B, A, B')
g = Ray(A, B')
A' = Rotate(A, (-β), B)
δ = Angle(A', B, A)
h = Ray(B, A')
C = Intersect(g, h)
i = Segment(B, C)
j = Segment(C, A)
metin2: "A, B ve C açılarının iç açılarını çizelim ve kesişim noktasına I diyelim.
Böylece m(A) = " + α + ", m(B) = " + β + ", m(C) = " + (180° - α - β) + " dir."
k = AngularBisector(C, A, B)
l = AngularBisector(A, B, C)
m = AngularBisector(B, C, A)
I = Intersect(l, m)
n = Segment(A, I)
p = Segment(I, B)
q = Segment(I, C)
ε = Angle(B, A, I)
ζ = Angle(I, A, C)
η = Angle(I, B, A)
θ = Angle(C, B, I)
ι = Angle(I, C, B)
κ = Angle(A, C, I)
a = false
r = Ray(B, A)
s = Ray(B, C)
D = Point(r)
E = Point(s)
t = Segment(A, D)
b = Segment(C, E)
c = AngularBisector(C, A, D)
d = AngularBisector(E, C, A)
J = Intersect(c, d)
e = Segment(A, J)
f_1 = Segment(C, J)
λ = Angle(A, J, C)
o = false
g_1 = Segment(I, J)
u = false
c_1 = Circle(I, Distance[I, i])
d_1 = Circle(J, Distance[J, b])
v = false